標準ＴＴＬだけ（！）でCPUをつくろう！（組立てキットです！）
(ホントは７４ＨＣ、ＣＭＯＳなんだけど…）
［第１９４回］

●減算命令の回路の説明の続きです

前回に引き続いて、減算命令の回路の説明をいたします。
２進数の減算は、引く数の「２の補数」を作って、それと引かれる数との加算を行えばよい、という説明をしました。
そして「２の補数」を作るために、ＡＬＵ回路のレジスタ”Ｂ”に、引く数の１と０を反転した数を入れるように、考えました。
しかし、それだけではまだ足りません。
１と０を反転しただけでは、まだ「２の補数」にはなりません。「１の補数」になっただけです。
「１の補数」にさらに＋１すると「２の補数」になります。

１と０を反転するところまでは、インバータ７４ＨＣ０４を使ってうまくいきました。
しかし、ここにさらに＋１するために、何かの計算回路を付け加えるのは、どうにも面白くありません。
すぐに思いつくのは、ＩＮＲ回路で使った７４ＨＣ１９１などのＵＰ／ＤＯＷＮカウンタを使うことです。
でも、たった＋１するためだけに、カウンタを使うのは、なんともばかばかしい感じですし、おまけに、レジスタは８ビットなのに、カウンタは４ビットですから、カウンタを使うなら、２個使わなければなりません。
なにか、よい方法はないものでしょうか。

２進数の減算の仕組みをじっくりと考えてみましょう。
いま、Ａを引かれる数、Ｂを引く数だとします。
Ａ−Ｂの計算を、２進数の場合で考えてみます。
２進数の計算では、Ａ−Ｂは、Ａ＋（Ｂの２の補数）という計算をすればよい、ということでした。
さらにそれは、Ａ＋（Ｂの１の補数＋１）というように考えられます。
ということは、Ａ＋（Ｂの１の補数）＋１を計算してもよい、ということになります。

さてそれでは、もう一度、加算回路（［第１９１回］）を見てみましょう。
加算器７４ＨＣ２８３をよくよく見てみると、キャリー入力があることに気がつきます。
これは、下位桁からの桁上がりを加算するためのものです。
下位桁からの桁上がりがあるときには、２つの数の加算に加えて、さらに＋１加算をします。

そうです。これを利用してしまえばよいではありませんか。
これが、前回の宿題の答えです。

うまくいくかどうか、検証してみましょう。

１）５６−２７＝２９を計算してみましょう
１０進数の５６、２７は１６進数ではそれぞれ３８、１Ｂになります。
３８−１Ｂの計算です。
１Ｂ（０００１１０１１）の１と０を反転して「１の補数」をつくります。１１１００１００ですから、Ｅ４です。
このＥ４と３８に、さらにキャリーを加えた、加算を行います。

　　　２進数　　　　　　　　　　１６進数　　　　　１０進数の計算（減算）
　　００１１１０００　　　　　　　　　３８　　　　　　　　５６　
　　１１１００１００　　　　　　　　　Ｅ４　　　　　　 　 ２７（−　
　　　　　　　　　１（＋　　　　　　　　１（＋　　　　　２９
１　０００１１１０１　　　　　　　１　１Ｄ　

計算の結果得られた１６進数の１Ｄは、１０進数では２９ですから、正しい結果が得られているようです。
ただ１つだけ問題が残ります。
計算の結果、上位桁へのキャリーが発生してしまうことです。
減算の場合には、キャリーと言わずに、ボロー（ｂｏｒｒｏｗ）と言います。
減算の場合には、上の桁から１を借りてきますから、ｂｏｒｒｏｗです。
でも、１０進数の計算で、５６−２７は、結果は正の数ですから、ボローは発生しないはずです。

そこで、今回のように計算の結果ボロー（キャリー）が出たら、それを反転する、ということにしてみましょう。
つまりキャリーが出たら、キャリーフラグをクリアする。逆にキャリーが出なかったら、キャリーフラグをセットする、ということにするのです。

それで、うまくいくかどうか、もうひとつ試してみましょう。

２）５６−６７＝−１１の計算です。
こんどは結果が負の数になりますから、キャリー（ボロー）がでる計算です。
１０進数の６７は１６進数では４３です。
１６進数の、３８−４３の計算です。
４３（０１００００１１）の「１の補数」は、１０１１１１００（ＢＣ）です。

　　　２進数　　　　　　　　　　１６進数　　　　　１０進数の計算（減算）
　　００１１１０００　　　　　　　　　３８　　　　　　　　５６　
　　１０１１１１００　　　　　　　　　ＢＣ　　　　　　 　６７（−　
　　　　　　　　　１（＋　　　　　　　　１（＋　　　　−１１
　　１１１１０１０１　　　　　　　　　Ｆ５　

計算の結果得られたＦ５は符号付の数として考えると、−１１になりますから、正しい結果が得られているようです。
今度は、計算の結果、キャリー（ボロー）は発生しませんでした。
ですから、さきほどの約束にしたがって、今回はキャリーフラグをセットします。
今回は引く数の方が引かれる数よりも大きいですから、もしまだ上位桁がある数の、下位桁部分の計算だったとすると、この桁だけでは引ききれませんから、上位桁へのボローを出すことになります。

上の２つの計算は、正の数同士の計算でした。
では、負数の減算はどうなるでしょうか？

３）５６−（−６７）＝１２３の計算です。
−６７は、１６進数ではＢＤです（つまり６７の「２の補数」です）。
１６進数の３８−ＢＤの計算になります。
ＢＤ（１０１１１１０１）の「１の補数」は、０１００００１０です。１６進数では４２です。

　　　２進数　　　　　　　　　　１６進数　　　　　１０進数の計算（減算）
　　００１１１０００　　　　　　　　　３８　　　　　　　　５６　
　　０１００００１０　　　　　　　　　４２　　　　　　 −６７（−　
　　　　　　　　　１（＋　　　　　　　　１（＋　　　　１２３
　　０１１１１０１１　　　　　　　　　７Ｂ　

計算の結果得られた７Ｂは１０進数に直すと、１２３になりますから、正しい結果が得られているようです。
ところがここでひとつ問題が出てきます。
今回の計算は、ボローが発生しませんから、さきほどの約束で、キャリーフラグをセットすることになります。
あれえ。おかしいですねえ。

ここでキャリーフラグがセットされては、まずいのでは？

いえ。じつは、この計算ではキャリーフラグがセットされるのが正解なのです。
なぜでしょうか？

１０進数の計算で、５６−（−６７）の計算は、実は５６＋６７＝１２３という計算をしていることになります。
では２進数の計算はどうでしょうか？
実は、上の３）の例はフェイク（ｆａｋｅ）なのです。
２進数８ビットの加算命令ＡＤＤ、減算命令ＳＵＢは、本当は符号付の数としての加算、減算は行わないのです。
３）の例で、−６７は１６進数ではＢＤなので…、と説明しましたが、ここがフェイクなのです。
１６進数のＢＤは１０進数の−６７なのだから、と考えて、３８−ＢＤという計算をしたつもりでも、ＣＰＵには、それが符号付の−６７という数なのか、それとも符号無しの数なのかはわかりません（符号無しの数としてのＢＤは１０進数では、１８９になります）。
なぜなら、その数を符号付の数とするか、符号無しの数とするかは「プログラマの勝手（［第１４回］参照）」なので、ＣＰＵのあずかり知らぬところだからです。

ＣＰＵはあくまで、ふつうの（符号無しの）数としての計算をします。
つまり、１６進数の３８−ＢＤという計算は、１０進数の５６−（−６７）ではなくて、５６−１８９の計算になるのです。
当然、５６から１８９は引けませんから、上位桁の１を借りてくることになります。つまりボローが発生するのです。
２進数の計算で上位桁の１を借りる、ということは、２５６を借りてくることになります。

注）この表現は舌足らずでした。
ここでの計算例は８ビットの数同士の計算なので、その上位ビット、つまり９ビット目は１００００００００なのでこれを１０進数に直すと２５６になります。
ですから８ビットの数で、上の桁（上のビット）から１を借りてくる、ということは、１０進数に直せば、２５６を借りてくる、ということになるのです。
（この部分、３月３１日追記）

上位桁があることが前提での減算ならば、１３８−ＢＤ＝７Ｂという計算が行われることになります。
上位桁へのボローが出るため、計算の結果、上位桁の１が無くなっています。
１６進数の１３８は１０進数の３１２になりますから、
１０進数では、３１２−１８９＝１２３という計算がおこなわれたことになります。

なんだか、わかったような、わからないような…。
でも、そういうことなのです。
とにかく、減算の場合には、引く数の「１の補数」と引かれる数と、それにキャリーの１を加算すればよいらしい、ということがわかりました。

ところが、ここでまた難問が出てきます。
今までの、減算の方法は、ＳＵＢ命令についてはあてはまります。
ＳＵＢ命令は、計算前のボロー（キャリー）は無視する減算命令です。
では、下位桁からのボローを引く、ＳＢＢ命令については、どうすればよいのでしょうか？

２００９．３．３０ｕｐｌｏａｄ
２００９．３．３１追記

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