ＭＹＣＰＵ８０でＣＰ／Ｍを！
超巨大基板の８０８０互換ＨＣＭＯＳ・ＣＰＵでＣＰ／Ｍを走らせてしまおうという、なんとも狂気なプロジェクトです！


［第４１回］


●ＳＩＮ関数の近似式

前回の続きです。
前回はＳＩＴ４とＳＩＴ３を十進数に変換しました。

ＳＩＴ４は−０．６４５９６３６６８８…になりました。
ＳＩＴ３は０．０７９６８９６８１１５…になりました。

次のＳＩＴ２を計算しますと、
４Ｃ９３３２を十進数に変換して、５０１８４１８を得ます。
５０１８４１８／１２８／２５６／２５６＝０．５９８２４２０４４４…になります。
ＳＩＴ２は負数ですから負号が加わります。
指数部がＦ９ですから、さらにその計算も加えます。
指数部がＦ９（つまり−７）ですからそれは仮数部×２^−７ということです。
ですから求める数は、−５０１８４１８／１２８／２５６／２５６／１２８＝−０．００４６７３７６５９７２…になります。

最後のＳＩＴ１を計算します。
４Ｆ６ＢＤＤを十進数に変換して、５２０４９５７を得ます。
５２０４９５７／１２８／２５６／２５６＝０．６２０４７９２２６１…になります。
指数部がＦ４ですから、その計算も加えます。
指数部がＦ４（つまり−１２）ですからそれは仮数部×２^−１２ということです。
ですから求める数は、５２０４９５７／１２８／２５６／２５６／４０９６＝０．０００１５１４８４１８６１…になります。

とにかくは十進数に直してみたのですけれど、この数値を見ていただけではやっぱり何もわかりません。
そこで今度は方向を変えて、プログラムのほうから攻めていくことにしました。
処理を簡単にするためにＡＤＭＡＬというサブルーチンを重ねて使っています。

そこをほぐしていきますと、どうやら
（π／２）＊Ｘ＋ＳＩＴ４＊Ｘ^３＋ＳＩＴ３＊Ｘ^５＋ＳＩＴ２＊Ｘ^７＋ＳＩＴ１＊Ｘ^９
という計算が見えてきました。

ええっ。
これってまさか、あれじゃあないの？

●テイラー級数？

インターネットで「三角関数の近似式」で検索しますと、テイラー級数とかマクローリン展開について書かれたサイトが多くみつかります。
ＳＩＮ関数に限らず、その他の関数もテイラー級数（マクローリン展開）により求めることが可能です。
ＳＩＮ関数の解をテイラー級数で求めますと下の式になります。

ｓｉｎ（ｘ）＝ｘ−（１／３！）ｘ^３＋（１／５！）ｘ^５−（１／７！）ｘ^７＋（１／９！）ｘ^９…

ｘの単位はラジアンを用います。
度を用いるＳＩＤ（）の場合は度をラジアンに変換したのち、ＳＩＮ（）のプログラムにエントリします。
度＝π／１８０ラジアンで換算できます。

うーん。
確かにこれで求まることには間違いはないのですけれど。
果たしてテーラー級数をそのまま使ったのかどうか、もうとにかくかすむほどの昔のことですから、記憶も定かではないのでありますが。
古い昔のノートをひっくり返して調べてみましたら、確かに上記のテイラー級数をメモしておりました。
しかし、値によっては誤差が大きくなって、次数を増やしてもなかなか誤差が小さくならない、というようなことを経験したような、かすかな記憶があるような…。
結局テイラー級数を使うのはあきらめたようにも思います。

そもそもさきほど計算しました定数は１／３！でも１／５！でも１／７！でも１／９！でもありません。
全くかけ離れています。
この定数はいったいどこから引っ張ってきたのか？
いったい何を根拠にプログラムを書いたのか？
ノートを見てもそのあたりのことは何も書いていないようでありました。

さて困った。
それでは説明のしようがないではないか。

苦し紛れに、上で説明しました根拠不明の数値を電卓でいろいろいじくっていましたら。
おおおっ。
なんだか少し見えてきたように思えました。

ＳＩＴ４　−０．６４５９６３６６８８…は、
−（１／３！）＊（π／２）^３＝−０．６４５９６４０９７５…
に近いじゃありませんか！
ま、少し違っていますけれど…。
そういうことならば、勇気を出して次もやってみるべし、であります。

ＳＩＴ３　０．０７９６８９６８１１５…は、
（１／５！）＊（π／２）^５＝０．０７９６９２６２６２５…
に近い！
が、少し違うか。

ＳＩＴ２　−０．００４６７３７６５９７２…は、
（１／７！）＊（π／２）^７＝−０．００４６８１７５４１３５…
に近い…けど、違うなあ。

ＳＩＴ１　０．０００１５１４８４１８６１…は、
（１／９！）＊（π／２）^９＝０．０００１６０４４１１８４８…
とは、ちょっと違うなあ…。

やっぱりこれはテイラー級数じゃありませんねえ。
では一体何でしょう？

ＭＹＣＰＵ８０でＣＰ／Ｍを！［第４１回］
２０１４．９．２２ｕｐｌｏａｄ

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