２０１４．１１．２２

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ＭＹＣＰＵ８０でＣＰ／Ｍを！
超巨大基板の８０８０互換ＨＣＭＯＳ・ＣＰＵでＣＰ／Ｍを走らせてしまおうという、なんとも狂気なプロジェクトです！


［第６９回］


●倍精度実数演算プログラムの組込み（２）

前にも書きましたように現在ＭＹＣＰＵ８０にＺＢ３ＢＡＳＩＣを移植する作業を行なっております。
倍精度演算プログラムを除いては大体のところは出来上がったのですが、最後の倍精度演算プログラムのところで足踏みしております。
着手前から予想はしていたのですが、予想を上回る複雑さにこのところ作業が難航しています。
遅々としてはかどりません。
その間に急ぎの注文などがあったりしてなかなか続けて作業することもままなりません。
気にはしているのですけれどついＨＰの更新が後回しになってしまいます。
今回の記事もなんとか時間をみつけてもうこれで２日ほど書き足しながら時間切れでＵＰできずに来てしまいました。
ですので以下に書きました内容も２日ほど前の組込み状況についての説明になっています。
現在はもう少し進んでいるのですがそれについてはまた時間をみつけて整理しながら書くことにいたします。

最良近似式についても最後の詰めの部分の肝心の説明ができておりません。
そちらのほうも時間をみつけて書きたいと思っております。

昨日と今日と２日を費やしてやっと少し進展いたしました（上に書きましたように１１月２０日頃の状況です）。
まだ倍精度演算のほんの入口のところが出来ただけです。
倍精度変数に倍精度定数を代入する部分です。
たったそれだけのところが実に難物だったのです。
下は２日間の成果です。

>list
    10 A#= 123.45#
    20 B#= 123.45
    30 PRINT A#,B#
>run
 123.45       123.4499969482422

何をやっておるのかよくわからんぞお、と思われるかも知れません。
見ての通りの簡単なプログラムです。
倍精度変数Ａ＃には倍精度定数の１２３．４５＃を代入します。
倍精度変数や倍精度定数は末尾に＃をつけて倍精度であることを示します。
倍精度変数Ｂ＃には単精度定数の１２３．４５を代入します。
十進数では倍精度でも単精度でも同じ１２３．４５という定数なのですが、それを２進数に置き換えると、変換しきれない誤差が発生してしまいます。
このプログラムではその差が出ています。
Ａ＃を表示するときちんと１２３．４５になりますが、Ｂ＃のほうはご覧のように気持ちの悪い表示になってしまいます。
でもこれはバグではありません。
こうなるのが正しいのです。

下はプロクラムが格納されているメモリエリアをメモリダンプコマンドＤＭで１６進数表示したものです。

>help
TEXT 8004-8062
ﾍﾝｽｳ DFEB-DFFF
>dm 8000,806f
8000  4C F3 0B 3F 28 32 ED 4A-9A 32 4C F3 0B 3F 28 32  L..?(2.J.2L..?(2
8010  FC DF 41 00 00 0B 3F 28-0A 00 04 00 F4 DF 41 23  .ﾟA...?(.....ﾟA#
8020  00 0B 3F 28 0A 00 08 00-EC DF 42 23 00 0B 3F 28  ..?(.....ﾟB#..?(
8030  14 00 08 00 0A 00 0F F1-18 00 9A F9 33 33 33 33  ............3333
8040  33 73 7B 07 23 0D 12 14-00 0A F1 24 00 9A F8 33  3s{.#......$...3
8050  73 7B 07 0D 0D 1E 00 09-81 F1 18 00 2C F1 24 00  s{..........,.$.
8060  0D 0C 81 22 2A 2A 2A 22-0D 0A 2A 2A 22 0D 0A 0A  ..."***"..**"...
>

ＺＢ３ＢＡＳＩＣはプログラムを入力する段階で中間コードに変換する作業が行なわれます。
そのときに実数や整数の定数も２進数に変換されてメモリに格納されます。
ですからただメモリを見ただけでは何が書いてあるのかわかりません。
でも私はＺＢ３ＢＡＳＩＣを作った本人ですから、もちろん何が書いてあるか解読できます。

１２３．４５＃はアドレス８０３Ｃ〜８０４３　の　３３　３３　３３　３３　３３　７３　７Ｂ　０７　です。
１２３．４５はアドレス８０４Ｆ〜８０５２　の　３３　７３　７Ｂ　０７　です。
［第６７回］で説明しましたようにプログラムの都合で数の並びが逆順になっています。
これを普通の並び順で表示しますと下のようになります。

１２３．４５＃は指数が０７で仮数は７Ｂ７３３３３３３３３３３３です。
１２３．４５は指数が０７で仮数は７Ｂ７３３３です。

単精度実数は２進数では２３ビットの数として扱いますから倍精度実数に比べてうんと短くなります。
倍精度実数は２進数では５５ビットの数として扱います。
どちらもＺＢ３ＢＡＳＩＣでの場合です。
そういうビット長でなければならないというきまりや約束事があるわけではありません。
その長さの違いがもとの十進数にもどしたときどのように影響してくるのかということを、［第６７回］と同じようにＷｉｎｄｏｗｓの電卓で計算して確かめてみることにします。

まず最初は１２３．４５＃のほうの計算です。

［表示］で［プログラマ］を選択し「１６進」を指定します。
ここのところをうっかりして［第６７回］では［関数電卓］と書いてしまいました（現在は訂正済みです）。

仮数部の７Ｂ７３３３３３３３３３３３を入力します。

「１０進」に切り換えて、［Ｍ＋］を押します。
これはＷｉｎｄｏｗｓ７の場合です。
Ｗｉｎｄｏｗｓ７ではこうしないと後の計算ができません。


［表示］で［普通の電卓］を指定したあと［ＭＲ］を押して、メモリした数値を表示させます。

／２５６／２５６／２５６／２５６／２５６／２５６＝と入力します。
仮数部が５５ビットなので本当はこのあと／１２８を入力するところなのですが、指数部に０７があるので、それと相殺できますから、上の入力になります。

計算の結果もとの十進数１２３．４５が表示されました。


なぜ２５６で繰り返し割るのでしょうか。
以下はその説明です。

最初に仮数部を１６進（２進）→１０進に変換した段階で１０進数が求まっています。
しかしそれは仮数部の５５ビットの数が整数（５５ビットの下位に小数点がある）として換算した結果です。
実際には５５ビツトの上位に小数点が置かれています。
ですのでその位置まで小数点を移動しないと正しい結果は求まりません。
２進数ですから２ｎで割ることでｎビット分上位に小数点を移動できます。
２８＝２５６です。
／２５６／２５６／２５６／２５６／２５６／２５６／１２８＝／２８／２８／２８／２８／２８／２８／２７＝／２５５
という計算のあと指数部の２７を掛けることでもとの１０進数が求まります。

それでは次は単精度の１２３．４５のほうの計算をしてみます。

［表示］で［プログラマ］を選択し「１６進」を指定します。
さきほどの「メモリ」がまだ残っていますから［ＭＣ］（メモリクリア）を押してメモリをクリアしておきます。

仮数部の７Ｂ７３３３を入力します。

「１０進」に切り換えて、［Ｍ＋］を押します。


［表示］で［普通の電卓］を指定したあと［ＭＲ］を押して、メモリした数値を表示させます。

／２５６／２５６＝と入力します。
仮数部が２３ビットなので本当はこのあと／１２８を入力するところなのですが、指数部に０７があるので、それと相殺できますから、上の入力になります。

計算の結果は？



誤差を含む数値が表示されました。
５５ビットでも２３ビットでも正しい数値ではなくて１０進数から２進数に変換したときの誤差はあるのですが、それをもとの１０進数に直して表示する場合には有効数字（倍精度実数では１５〜１６桁）の範囲内に収めるために下位桁を四捨五入しますから、結果として５５ビットの場合にはもとの数と同じ１２３．４５として表示されるのに対して、２３ビットの場合には誤差が大きいため上のように表示されてしまいます。
なお２３ビットの値でも倍精度実数ではなくて単精度の実数として扱う場合（たとえば単精度の変数に代入するような場合）には有効数字が６〜７桁のため、そこで四捨五入すると１２３．４５と表示されます。

ＭＹＣＰＵ８０でＣＰ／Ｍを！［第６９回］
２０１４．１１．２２ｕｐｌｏａｄ

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