１６ビットマイコンボードの製作
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いつか使ってみるつもりで入手してそのまま置いてあった１６ビットＣＰＵのことを思い出しました。
ＡＭＤ社のＡＭ１８８です。
その名の通り、ＣＰＵコアは８０１８８互換の１６ビットＣＰＵです。
そのＡＭ１８８を使った１６ビットマイコンボードの製作記事です。
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［第３７回］
●１０進実数と２進浮動小数点数
前回の誤差の問題ですが。
ＳＩＤ（）関数のテストのときのように０度から９０度までを５度きざみにＦＯＲ〜ＮＥＸＴ文で回す分には、誤差は発生しません。
最後はきっちり＝９０になって終ります。
ところがＡにラジアン値を入れて、刻み値をＰＩ／３６にした場合、ＰＩ／３６に誤差があるため、それをＦＯＲ〜ＮＥＸＴで加算していくと、最後はきっちりＰＩ／２にならないので、前回の対策のようなことが必要になってきます。
正直な話、これは２進数だからそうなる、ということではありません。
刻み値が端数の場合１０進数で計算してもＦＯＲ〜ＮＥＸＴで加算を繰り返せば誤差が蓄積してきます。
ですので前回の例は内部で２進数の浮動小数点演算をやっているから誤差が発生する、ということではなくて、もともとＰＩ／２とかＰＩ／３６とかという割り切れない数を扱っているから、と考えるべきです。
そういうことなのですが、前回のところでは、私もちょっと思い違いをしてしまったところがあって、それが２進数の浮動小数点計算だから、と言いたげなふうの終り方になってしまいました。
それはそれとしまして、前回の終わりのところで２進の浮動小数点計算について説明する、などということを書いてしまいました。
本当にそれを始めますと、またしてもＡＭ１８８のシステムやＫＬ５Ｃ８０Ａ１２のシステムの開発作業に支障が出てしまいます。
それはちょっとテーマとして大きすぎました。
浮動小数点計算のシステムプログラムはそれだけで解説書が１冊書けてしまうくらいの内容があります。
入口だけでもとも考えたのですが、とても無理そうです。
ですので、それについてはいずれ時間をみつけて、ということでお許しください。
でも全然書かないわけにもいきませんので、今回は１０進数がどのような形で２進数の浮動小数点数に変換されているのか、というあたりについて、まとまりがない説明ですが、とにかく書いてみることにしました。
今回の記事を書こうとして私自身が気がついたのですが、ＦＯＲ〜ＮＥＸＴの終了条件であるＰＩ／２の値がちょっと雑ではないか、と少し気になりました。
前回のテスト画面でＰＩ／２はＡ＝１．５７０８になっています。
ＰＩは３．１４１５９２６５ですからその１／２は１．５７０７９６になります。
どうやらその末尾が四捨五入された結果１．５７０８になったようです。
うーん。
ちょっとアバウトかなあ。
そう思いましたので、前回のテストに関係する値について計算をしてみました。
比較のために、前回の記事の画面を開いた上にコマンドプロンプト画面を置きました。
右の画面の一番下の計算では、ＰＩ／３６に１８を掛けたものからＰＩ／３６に１７を掛けたものを引いています。
本当はＦＯＲ〜ＮＥＸＴの場合には掛け算ではなくて加算の繰り返しですからもっと大きな誤差になります。
それはともかく、最後のステップで終了値（ＰＩ／２）との差が末尾１だけ小さくなっています。
刻み値が０．８７２６６５Ｅ−１なのに最後のところの差は０．８７２６６４Ｅ−１になっています。
言い換えれば、１７回の繰り返しで、Ａの値が末尾１だけ大きくなってしまったと言えます。
そこに最後の刻み値を加算するとＰＩ／２よりも少しだけ大きくなってしまうので、そこでＮＥＸＴを抜け出してしまったと考えることができます。
さて。
上の右側の計算結果は実数型変数のＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆに格納されています。
その値が格納されているメモリアドレスの内容をＤＭコマンドで表示させてみました。
実数型変数は４バイトを占有します。
ＤＦＦＦから前方に逆向きに格納されています。
これを普通の向きに直して整理すると下のようになります。
Ａ ０１ ６４ ８７ ＥＤ
Ｂ ＦＤ ５９ ５Ｃ ６１
Ｃ ０１ ６４ ８７ ＥＤ
Ｄ ０１ ５Ｅ Ｆ２ ２７
Ｅ ＦＤ ５９ ５Ｃ ６０
Ｆ ０２ ６４ ８７ ＥＤ
最初の１バイトは指数（符号付）です。
１バイト８ビットを使って−１２８〜＋１２７を示します。
扱える数の大きさはここで決ります。
２〜４バイトは仮数部です。
最初の１ビットが符号（１のときマイナスを示す）で残り２３ビットが２進数で表した数値になります。
ＡとＣとＦの仮数部が同じなのが分かりますでしょうか？
ＡとＣはＰＩ／２でＦはＰＩです。
仮数部の左に小数点があるものとして考えてください。
ＡとＣは指数が１ですから（．）６４８７ＥＤ×２です。
Ｆは指数が２ですから（．）６４８７ＥＤ×４です。
確かに１：２の関係になっていることはわかります。
この仮数部をどうしたら１０進数に戻すことができるでしょうか？
それにはまず仮数部を整数値だと考えます。
左側に小数点があるということは、そのすぐ右の桁は小数第１位です。
１０進数なら０．１（１／１０）です。
２進数ですから１／２です。
その下は１／４、その下は１／８…です。
２３ビットですから最下位は１／２２３です。
ということはもしも仮数部の数値を仮に小数点なしの整数だとしたら、実はその数を２２３で割ったものが真の値だということになります。
Ｗｉｎｄｏｗｓの電卓で計算をしてみましょう。
２２３は８３８８６０８です。
６４８７ＥＤを１０進数に直すと６５８８３９７になります。
６５８８３９７／８３８８６０８＝０．７８５３９８１２５６…です。
これは仮数部の値です。
ＡとＣはこの値に２を掛けます。
すると、１．５７０７９６…が得られます。
Ｆはそこにさらに２を掛けます。
すると、３．１４１５９２５…が得られました。
うーん。
なんだかわかったような、わからないような…。
うまく説明できませんが、まあこんなあたりでお許しください。
１６ビットマイコンボードの製作［第３７回］
２０１８．６．１４ｕｐｌｏａｄ
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