標準ＴＴＬだけ（！）でCPUをつくろう！（組立てキットです！）
(ホントは７４ＨＣ、ＣＭＯＳなんだけど…）
［第１５回］

●ＤＡＡのお話の続き（その３　「減算後の補正について」の続き）

先回、減算における十進補正について、１桁に注目したとき、補正前の数が６〜Ｆでかつ下位桁からのキャリーフラグが立っている場合に、十進補正が必要である。
というところまで、説明をしました。
本日はその続きです。

●その前に、前回の加筆訂正についてのご報告です。

前回は時間が無くて、やっつけで書いてしまいましたので、本日、大幅に加筆訂正をいたしました。
また前々回（加算に対するＤＡＡのお話）で、表およびそれに対する説明に一部不足がありましたので、これも加筆訂正いたしました。

それでは、前回の続きです。
前回の表をよく見て、補正前の数をどのようにすると、期待通りの十進数（ＢＣＤ数）にすることができるのでしょうか？
うーん。いちいち前のページに戻るのは面倒です。
特別に、先回と同じ表を再掲することにします。

加算のときは、補正前の数に６を加算すれば、正しく補正が行われました。
減算の場合には？
補正前の数（→の行の数）を補正後の数（その下の行の数）にするには、加算の場合とは逆に６を引けばよいことがわかります。

●減算の代わりに加算する

加算後の十進補正は６を加算するという作業でした。
減算後の十進補正はそれとは逆に６を減算する作業になりそうですが、これは少し面白くありません。
十進数の計算でも加算よりも減算の方がなんとなく面倒な気がします。
２進数の場合でも同じで、できれば減算はやりたくありません。
なんとか減算をやらないで済ますことはできないものでしょうか。

そこで、先回長々とお話した２進数の負数を思い出して欲しいのです。

６を引く代わりに、−６を加算するっていうのは、どうなのだろうか？

−６は、０００００１１０の「２の補数」ですから、１１１１１０１０（１６進数では、ＦＡ）です。
０００００１１０を引く代わりに、１１１１１０１０を足すということでも良い、のでしょうか？
計算で確認してみましょう。

例として、１７−９＝８について考えてみます。
上の計算をＢＣＤ数ではなくて２進数（１６進数）であるとして２進数の減算を行うと、その結果は表から、０Ｅになることがわかります。この０Ｅから６を引いて、８を求める代わりに、−６を加算することでも、正しく８が求められるかどうかを計算によって試してみます。

００００　１１１０
１１１１　１０１０（＋
００００　１０００

この方法でも８が求まることが確認できました。
しかしこの場合に、上位桁に対して発生するキャリー（ビット７からのキャリー）は問題があります。
本来は下位桁に対してのみ行ったはずの補正計算の結果、上位桁のそのまた上位桁に波及するキャリーが発生するのは困ります。
そこで、もし上位桁が補正を必要としない数であった場合には、補正計算の結果発生するキャリーフラグはクリアする必要があります。

●上位桁についても同じ考え方ができるか？

８ビットの数はＢＣＤ数では２桁の数になります（１６進数でも同じ）。
今その下位桁についての十進補正についてはその方法が確認できました。
上位桁に対してはどうなのでしょうか？
上位桁については、減算に対する十進補正では、２桁のＢＣＤ数の例では少し都合が悪くなります。
なぜなら、十進補正が必要な場合は、その桁の引かれる数が引く数よりも小さい、という条件と、計算前も計算後も、正の数でなければならない、という２つの条件をクリアする必要があるからです。
そこで、３桁のＢＣＤ数を考えて、１７０−９０＝８０という計算について考えてみることにします。この場合も２進減算の結果は、Ｅ０になりますから、このＥ０から６０を引いて８０という答えを求めれば、減算後の十進補正が正しく行われたことになります。
そのＥ０−６０の計算を、Ｅ０＋（−６０）という「加算」でも行えるかどうかを確かめてみることにします。

０１１０００００（１６進数の６０）の「２の補数」は１０１０００００（１６進数のＡ０）です。これが−６０（注意。十進数の−６０のことではありません）です。

１１１０　００００
１０１０　００００（＋
１０００　００００

この場合にも、正しく結果の８０が求まりました。この場合でも、補正計算の過程で上位桁にキャリーが出ます。
しかし、さきほどの下位桁の場合とは異なり、もともと上位桁（上位バイト）に対するキャリー（上位桁からのボロー）が発生していることが、十進補正を行う上での必要条件だったわけですから、このキャリーはそのままにしておく必要があります。

●上位桁と下位桁の両方ともに補正が必要な場合はどうなるか？

最初に下位桁のみに対する補正について検討し、その次に、上位桁のみに対する補正について、検討を行いました。
それでは、上位桁と下位桁の両方が補正を必要とする場合には、どのような計算をすればよいのでしょうか？
加算に対する補正では、下位桁の補正が上位桁に影響を及ぼす場合がありました。
幸い、減算に対する補正は上の２例の計算によって、上位桁が補正を必要としない場合の下位桁に対する補正が上位バイトに対する余計なキャリーを立ててしまうこと以外に上位桁に影響を及ぼすことはなさそうなので、ここは素直に、下位桁のみの補正と上位桁のみの補正をただ単に両方同時に行えばよいらしい、という予想が成り立ちます。
下位桁に対する補正は、補正前の数に−６を加算する、というものでした。
上位桁に対する補正は、補正前の数に−６０（１６進数の）を加算する、というものでした。
すると、上位桁も下位桁も補正が必要な場合には、１６進数の−６６を加算すればよいことになります。
１６進数の−６６は、０１１００１１０の「２の補数」ですから、１００１１０１０（９Ａ）になります。
つまり補正前の数に９Ａを加算すればよいということになります。
これも計算で確かめてみましょう。

１７５−９６＝７９という計算の例で確かめてみます。この計算がＢＣＤ数ではなくて２進数であったとして２進数の減算が行われた結果は、ＤＦという値になります。このＤＦに９Ａを加算して、期待どおりに７９という答えが得られるかどうかの検証です。

１１０１　１１１１
１００１　１０１０（＋
０１１１　１００１

正しく７９が求まりました。補正計算の結果、ビット７から上位桁（上位バイト）に対してキャリーが発生しますが、もともと上位バイトに対してはボローが必要なので（キャリーフラグはボローフラグでもある）、キャリーフラグをクリアする必要はありません。

●減算に対するＤＡＡ（十進補正）のまとめ

加算のときと同じように以上のことをまとめてみます。

補正前の数の、
１）下位桁が６〜Ｆで、かつＨフラグが立っている場合は、ＦＡを加算し、加算後にＣフラグをクリアする
２）上位桁が６〜Ｆで、かつＣフラグが立っているときは、Ａ０を加算する
３）ただし、１）と２）が同時に成立する場合には、９Ａを加算する

２００８．７．２２ｕｐｌｏａｄ

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