標準ＴＴＬだけ（！）でCPUをつくろう！（組立てキットです！）
(ホントは７４ＨＣ、ＣＭＯＳなんだけど…）
［第１９７回］

●ＳＢＢ命令の計算方法の「理由」

前回（［第１９６回］）とその前の回（［第１９５回］）で、１０進数の減算でも、引く数を「９の補数」＋キャリーに置き換えることで、加算にしてしまうことができるというお話をしました。
そして下位桁からのボローを含めて減算するＳＢＢ命令の場合、（下位桁からの）ボローがあれば、それを反転して加算すればよい、という説明をしました。

下位桁からのボローが無い場合（キャリーフラグがクリアされている場合）には、それを反転させますから、キャリーの１を含めて加算を行います。これは結果的には、下位桁からのボローを無視するＳＵＢ命令と同じ計算をすることになります。
引かれる数＋引く数の「９の補数」＋１（反転させてＯＮになったキャリー）、という計算です。

下位桁からのボローが有る場合は、そのボロー（キャリーフラグ）の状態を反転しますから、キャリーは含めないで加算することになります。
引かれる数＋引く数の「９の補数」、という計算です。

前回、ＳＢＢ命令では、上の説明のように、下位桁からのボロー（キャリー）の状態を反転させて、それを「９の補数」の計算に加えればよい、という計算ルールについて、「なぜそうすればよいか、という理由はわかりません」と書きました。

確かに最初はどうすればよいのか、すぐには思いつかなかったので、いろいろな例で計算を試みていくうちに、そうすればよい、ということがわかったのですけれど、でもそのあとで、「なぜ、そうすればよいのか」という、その理由についても考えて、それは解決していたのです。
そのことをすっかり忘れてしまっていました（うーん。やっぱり、痴呆が始まっているのか…。トホホ…）。

そんなに難しい理屈ではなかったのです。
ごく当たり前の小学校の算数でした。

下位桁からのボローを含めた減算は、引かれる数−引く数−１、という計算をします。
前回の計算例、４２３−１４２＝２８１で、３桁目の計算が、その計算になります。
４−１−１（下位桁からのボロー）です。

ところで、この式の下位桁からのボローを引くところだけを後回しにして考えてみると、
４−１ですから、
ここはＳＵＢ命令のやり方で、
４＋８（１の「９の補数」）＋１、に置き換えることができます。

ここに、さきほど後回しにしていた、下位桁からのボローを引く部分をもとに戻すと、
４＋８（１の「９の補数」）＋１−１になります。

下位桁からのボローがあるときには、＋１と−１で＋１加算がなくなるので、４＋８（１の「９の補数」）、という計算をすることになります。
下位桁からのボローが無いときには、＋１が消されないので、そのまま＋１加算が残ります。

以上を整理すると、下位桁からのボローがある場合には、＋１加算をしないで計算し、下位桁からのボローが無い場合には、逆に＋１加算をすればよい、ということになります。

●２進数でＳＢＢ命令の計算方法を確認してみる

ＳＢＢ命令の減算を、「９の補数」とキャリーを使った加算に置き換えることができるということを、１０進数での計算で確かめました。
２進数での計算についても、同じようにあてはまるはずですが、念のため、実際の計算例で確認してみることにします。

下位桁からのボローがある減算の確認ですから、１６ビット、２バイトの数で考えてみることにします。
１６進数２バイトの数の減算例です。
６５４３−３４ＡＢ＝３０９８
これは１０進数に直すと、２５９２３−１３４８３＝１２４４０という計算をしていることになります。
この計算を、最初に下位バイト、次に上位バイトの順に行います。
下位バイトはＳＵＢ命令、上位バイトはＳＢＢ命令の計算です。

最初の下位バイトの減算です。

　　　２進数　　　　　　　　　　１６進数　
　　０１００００１１　　　　　　　　　４３　　
　　１０１０１０１１（−　　　　　　 ＡＢ（−

という計算ですから、これを「１の補数」＋キャリーに置き換えた加算で行います。

　　　２進数　　　　　　　　　　１６進数　　　　１０進数
　　０１００００１１　　　　　　　　　４３　　　　　　　６７
　　０１０１０１００　　　　　　 　　 ５４　　　　　 　 ８４　
　　　　　　　　　１（＋　　　　　　　　１（＋　　 　　　１（＋
　　１００１１０００　　　　　　　　　９８　　　　　　１５２　

これで下位バイトが求まりました。なお１０進数の計算は８ビットの計算の検算のために示したもので、２バイトの２進数の計算の一部としての意味は全くありません。

さて、上の計算では、上位桁へのキャリーは発生していませんから、その場合にはキャリー（減算ですからボロー）を立てることになります。
キャリーフラグがセットされます。

次に上位バイトの計算です。

　　　２進数　　　　　　　　　　１６進数　
　　０１１００１０１　　　　　　　　　６５
　　００１１０１００　　　　　　　　　３４　　
　　　　　　　　　１（−　　　　　　 　１（−　……下位桁からのボロー

という計算ですから、これを「１の補数」に置き換えた加算で行います。
下位桁からのボローがある場合には、それを逆にして、キャリーフラグをクリアしてしまいますから、さきほどの計算の、＋１する部分がなくなります。

　　　２進数　　　　　　　　　　１６進数　　　　１０進数
　　０１１００１０１　　　　　　　　　６５　　　　　 　１０１　
　　１１００１０１１（＋　　　　　 　ＣＢ（＋　 　　　２０３（＋
１　００１１００００　　　　　　　１　３０　　　　　 　３０４　

計算の結果発生した上位桁へのキャリーは、反転させますから、キャリーフラグをクリアすることになります。

以上の計算によって、２進数２バイトの減算が正しく行われることが、確認できました。

次回は、今まで考えてきた加算、減算のルールをもとにして、実際の回路の説明にとりかかります。
２００９．４．４ｕｐｌｏａｄ

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