標準ＴＴＬだけ（！）でCPUをつくろう！（組立てキットです！）
(ホントは７４ＨＣ、ＣＭＯＳなんだけど…）
［第５４２回］
●実数型のデータ構造
前回書いた内容を今朝になってから読み直していましたら、ちょっと説明不足だなあ、という感じがしましたので、追記いたしました。まだご覧いただいてない方はまずそちら（［第５４１回］追記）をお読みくださいませ。
さて本日はＺ８０ＢＡＳＩＣの実数型変数（および実数型定数）のデータ構造について説明をいたします。
整数型データの構造についてはすでに何回か説明をしておりますが、実数型というのははじめてかと思います。
整数型は２バイト１６ビットの長さです。
整数型は２バイトをつないで１６ビットにした、その２進数そのままの値になります。
符号なしの場合には００００～ＦＦＦＦの値をとります。
これは１０進数であらわすと０～６５５３５になります。
符号付の数の場合、最上位ビットが０の数００００～７ＦＦＦが正の数で、１０進数の０～３２７６７になります。
最上位ビットが１の数ＦＦＦＦ～８０００が負の数になります。１０進数の－１～－３２７６８です。
これに対して実数型は４バイトの長さです。
整数型の２倍ですが、その構造は複雑です。
実数型は小数点を含む数を扱うことと、もうひとつ非常に大きな範囲の数を扱うための工夫がなされています。
１０進数でも非常に大きな値（または非常に小さな値）を表現するときに指数を使って表します。
たとえば、０．０００００１２３という数はそのままではやたら０が多くてこのままでは実際の大きさがどれほどのものかピンときませんし、数式の中でこのまま扱うのも厄介です。うっかり０の数を書き間違えてしまうかもしれません。
そこで、これを０．１２３×１０－５のように表します。
Ｚ８０ＢＡＳＩＣの実数型もそれと同じ考え方をしています。
なおここで扱う実数型の構造は標準的な考え方のものとは少し異なっているところがあります。
標準とされる構造は、実際に計算処理をする上でちょっと面倒なところがあるため、標準の方法よりも有効桁がちょっと少なくなりますが独自の構造を採用しています。
４バイトのうち最上位の１バイトは指数部です。
１バイト８ビットを符号付の指数として扱いますから、００～７Ｆが正の指数０～＋１２７を、そしてＦＦ～８０が負の指数－１～－１２８を表します。ただし２進数ですから、１０ｎではなくて、２ｎを示します。
つまり指数部は２－１２８～２＋１２７の範囲の大きさを示すことができます。
残り３バイト２４ビットが数の本体（仮数）部分です。
ここも最上位ビットは符号を表します。
その下の２３ビットで数の並びを示しますが、ここが普通の２進数と違っています。
まず普通の２進数で１０進数の１２３４５を示す場合について考えてみます。
１０進数の１２３４５は１６進数で表現すると、３０３９になりますから、それを２進数２４ビットで表現すると、
００００００００ ００１１００００ ００１１１００１ ……（１）
になります。最上位ビットは符号ビットです。
しかし実数型ではこれを、１０進数の指数表現と同じように、１よりも小さい数に変換して、さらに小数点のすぐ下位つまり小数第１位が必ず１であるような数に直します。
０１１０００００ ０１１１００１０ ００００００００ ……（２）
のようにします。
これが正規化（ｎｏｒｍａｌｉｚｅ）とよばれる作業です。
最上位が符号ビットで、そのすぐ下に２進数の小数点があることにします。
するとその右に続く最初の１は２－１つまり０．５で、さらにその右の１は２－２つまり０．２５になります。
それでは仮数部をそのようにしたときに、指数部はいったいどのような値にするともとの３０３９（１０進数の１２３４５）と同値になるでしょうか。
ちょっと見当もつかない、かも知れませんが、実はそれほどむつかしいことではありません。
さきほどの正規化をする前の数（１）では小数点が最下位ビットの右にありました。
これを、一番上位の１が小数点の右にくるところまで、シフトしたものが（２）である、と考えることができますから、
１１００００ ００１１１００１
これだけの部分を右にシフトしたことになります。
１ビット右にシフトすると同時に指数が１加算されることになりますから、すると、１４ビットシフトしていますから、指数部は１４つまり２１４になります。
１４を１６進数に直すと０Ｅですから、指数部は００００１１１０になります。
以上のことから、１０進数の１２３４５を２進数の実数型に変換すると、
００００１１１０ ０１１０００００ ０１１１００１０ ００００００００ ……（３）
になります。
なぜこんな面倒なことをしているかと言いますと、最初に書きましたように、計算で扱える数の範囲をうんと広げて通常の計算なら大抵はオーバーフローしないようにするためなのです。
数をこのような形に変換して計算を行う方法を浮動小数点計算といいます。
これに対して整数部と小数部の境に小数点がある、私達が普通に扱っている数の表現方法を固定小数点表示といいます。
固定小数点による計算は正確な結果を求めることができますが、非常に大きな桁数の演算レジスタが必要になってしまいます。
浮動小数点方式は計算結果に誤差が生じてしまいますが、演算レジスタの桁数が少なくて済みますから、コンピュータでの数値演算はこの方法で行うことが一般的です。
さて参考までに、上で行った作業を実際に確かめてみることにしましょう。
実際にＢＡＳＩＣのプログラムを実行してその結果を見てみることにします。
logfile nd80zlog\07042240.txt open
ＮＤ８０ＺⅢに接続しました
0001 0000 - z1000 00C3 - *** nd80z3 basic ****
>10abc=12345
>list
10 ABC=12345
>help
TEXT 8004-8028
ﾍﾝｽｳ DFFB-DFFF
>dm 8000,8028
8000 04 80 10 80 00 80 FF DF 10 80 0C 00 B3 53 44 94 .......ﾟ....ｳSD.
8010 FC DF 41 42 43 00 00 85 0A 00 04 00 0A 00 08 F0 .ﾟABC...........
8020 0C 00 9A FA 39 30 0D 0B F4 DF 43 00 55 54 00 85 ....90...ﾟC.UT..
>run
>dm dff0,dfff
DFF0 FD FF 5D 06 00 00 DB 08 00 00 50 03 00 72 60 0E ..]...ﾛ...P..r`.
>/exit
ndremote.exeを終了しました
logfile closed at Sun Jul 04 22:40:00 2010
たった１行だけですが、
１０ ＡＢＣ＝１２３４５
と書いて、このプログラムを実行してみました。
変数ＡＢＣはアドレスＤＦＦＣからの４バイト（ＤＦＦＣ～ＤＦＦＦ）にあります。
ｒｕｎコマンドで実行したあと、ＤＭコマンドでアドレスＤＦＦＣ～ＤＦＦＦの値を確認しています。
整数の場合と同じように、データの並びは下位バイトから上位バイトの順になっています。
これをさきほどの説明と同じように上位バイト～下位バイトの順に並び直してみます。
０Ｅ ６０ ７２ ００
さきほどの説明での結果（３）と同じ値になっています。
２０１０．７．４ｕｐｌｏａｄ
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