ＭＹＣＰＵ８０でＣＰ／Ｍを！
超巨大基板の８０８０互換ＨＣＭＯＳ・ＣＰＵでＣＰ／Ｍを走らせてしまおうという、なんとも狂気なプロジェクトです！
［第４６回］
●チェビシェフの近似式
またまた間が空いてしまいました。
よくわかっていないことを書こうとしますと、余程慎重に構えて間違えたことを書かないように注意しなければなりません。
本当はＭＹＣＰＵ８０用のＣＰ／Ｍ互換ＤＯＳをはやく完成させなければならないのですが、このところ近似式がどうにも気になって、なかなか互換ＤＯＳに気が回りません。
困ったものです。
ここ数日コロナ社「数値計算」と格闘して、わからん、わからん、を連発しておりました。
昔の人は良いことを言いました。
読書百遍、意おのずから通ず。
百遍はとても読めませんが、わからぬところをネットであちこち探りながらまた「数値計算」に戻って読み直し…
を繰り返しておりましたら、突然に霧が晴れたような気がいたします。
疑問が氷解した、といいますか、わかったぞぉ、という気分になりました。
本当にわかったかどうか、まだ今は検証中なのでありますが、自分の頭の中では分かったように思います。
それで前回の続きなのですが。
前々回、前回と続いてチェビシェフの多項式について説明しました。
一体それがどうしたの、と思われるかたもいらっしゃるかと思いますが。
それがこれから説明いたしますチェビシェフの近似式を導き出すために必要なツールなのです。
このところ例にあげております、ＳＩＮ関数を多項式で表現するときにまず思い浮かぶのがテイラーの多項式です。
これは［第４１回］で書きました。
ｓｉｎ（ｘ）＝ｘ−（１／３！）ｘ３＋（１／５！）ｘ５−（１／７！）ｘ７＋（１／９！）ｘ９…
項数を増やしていくとだんだん真の値に近づいてきます（Ｘはラジアンです）。
単純な計算式ですからＣやＢＡＳＩＣでも簡単にプログラムできます。
しかし係数もＸｎの値もだんだんと小さな値になりかつ数字の桁数が増大していきますから、そのうちに計算誤差が大きくなって何をやっているのかわからなくなってしまいます。
おのずから適当なある項数で打ち切ることが求められます。
チェビシェフの近似式はテイラーの多項式をもとにして導き出しますが、もとのテイラーの多項式よりも１つ少ない項数で（つまりＸの次数では２次低い次数で）、もとの式と同等程度の誤差の近似式になるという特徴があります。
しかし正直な私の気持ちといたしましては、それは数学や統計学の講義や、もっと精度の高い計算式が要求されるレベルでは必要なことかもしれませんが、私のＢＡＳＩＣの初等関数の算法としましては、テイラーの多項式で必要ならばもうあと１項か２項増やして計算すればよいではないかと思ってしまいます。
つまりはチェビシェフの近似式を求めることが、最良近似式なるものを求めるために必要ということでなければ、それほど意味のあることのようには思えません。
おお。
ということは。
やっぱり最良近似式まで行かなくちゃいかんのだ。
むむむ。
またしても、泥沼じゃあ。
まま。
とりあえずは、前進あるのみ。
で。
いよいよ、チェビシェフの近似式の求め方です。
これがまた、なかなかに面倒です。
なんでもこれをテレスコープ（ｔｅｌｅｓｃｏｐｅ）法というのだそうです。
ｔｅｌｅｓｃｏｐｅつうと望遠鏡なんですよねえ。
なんなのでしょう。
なんだか小さいものを広げるというような意味なのでしょうか。
それはともかく実際の方法です。
考え方を分かりやすくするために、もとになるテイラーの多項式を５次までとして
ｓｉｎ（ｘ）＝ｘ−（１／３！）ｘ３＋（１／５！）ｘ５ …（１）
としたときに、それよりも２次低い式、つまりｓｉｎ（ｘ）＝ａｘ−ｂｘ３を導き出すことを考えます（それがチェビシェフの近似式です）。
そのときに前回お見せしたチェビシェフの多項式が必要になります。
実はこれから説明する方法は
こちらのサイト（http://metanest.jp/telescoping/）
で説明されておりました方法です。
「数値計算」を再入手する前に暗中模索するなかでたどりついたサイトでした。
この方法でＥＸＣＥＬを使いましてもっと高次の近似式まで導き出して、それがかなりの精度の近似式であることを検証しましたが、のちに「数値計算」をあらためて読みまして、「数値計算」で説明されている方法のほうがＥＸＣＥＬ向きであることを知りました。
しかしものには順序というものがありますから、まずは上記サイトで紹介されていた方法を試しまして、そののちに「数値計算」による方法も試してみることにいたします。
まずは上記サイトでの方法です。
（１）式を降順に書き換えるとともに係数の分母を計算します。
ｓｉｎ（ｘ）＝ｘ５／１２０−ｘ３／６＋ｘ …（２）
ここで前回説明しましたチェビシェフの多項式を使います。
使うのは元の多項式と同じ次数の式です。
（２）はｘ、ｘ３、ｘ５からなる式ですから、
Ｔ１（ｘ）＝ｘ …（３）
Ｔ３（ｘ）＝４ｘ３−３ｘ …（４）
Ｔ５（ｘ）＝１６ｘ５−２０ｘ３＋５ｘ …（５）
を使います。
ここで（２）式の右辺の最高次（ｘ５）の項をＴ５（ｘ）を使って消去する計算をします。
ｘ５／１２０−ｘ３／６＋ｘ−Ｔ５（ｘ）／１６／１２０
と置くとｘ５が消えます。
ｘ５／１２０−ｘ３／６＋ｘ−Ｔ５（ｘ）／１９２０
＝ｘ５／１２０−ｘ３／６＋ｘ−１６ｘ５／１９２０＋２０ｘ３／１９２０−５ｘ／１９２０
＝（（−３２０＋２０）／１９２０）ｘ３＋（１９２０−５）／１９２０）ｘ
＝−（５／３２）ｘ３＋（３８３／３８４）ｘ …（６）
ここまでが準備段階です。
これからが近似式
ｓｉｎ（ｘ）＝ａｘ−ｂｘ３
を求める計算になります。
ｘ５のときと同様にして、（４）式を使って（６）式からＸ３の項を消去するようなＴ３（ｘ）の係数を求めます。
すると
−（５／３２）ｘ３＋（３８３／３８４）ｘ−（−５／３２／４）Ｔ３（ｘ）
と置けばＸ３の項が消去できますから、それを計算して
−（５／３２）ｘ３＋（３８３／３８４）ｘ−（−５／１２８）（４ｘ３−３ｘ）
＝（３８３／３８４−１５／１２８）ｘ
＝（３８３／３８４−４５／３８４）ｘ
＝（３３８／３８４）ｘ
＝（１６９／１９２）ｘ …（７）
となります。
ここでＴ３（ｘ）に乗じた係数は−５／１２８であることを覚えておきます（８）。
同様にして（３）式を使って（７）式からｘの項を消去するようなＴ１（ｘ）の係数を求めるのですが、Ｔ１（ｘ）＝ｘですから、（７）式のｘの係数がそのままＴ１（ｘ）の係数となります。
すなわち１６９／１９２です（９）。
以上の計算で求めた（８）（９）から、求める近似式をＴ３（ｘ）、Ｔ１（ｘ）を使ってあらわすと
ｓｉｎ（ｘ）＝−（５／１２８）Ｔ３（ｘ）＋（１６９／１９２）Ｔ１（ｘ） …（１０）
となります。
ということなのですが、なぜこれでよいのか私にはわかりません。
とにかくこうなるのだそうです。
最後にＴ３（ｘ）、Ｔ１（ｘ）を（３）（４）式を使ってｘに置き換えます。
ｓｉｎ（ｘ）＝−（５／１２８）（４ｘ３−３ｘ）＋（１６９／１９２）ｘ
＝−（５／３２）ｘ３＋（１５／１２８）ｘ＋（１６９／１９２）ｘ
＝−（５／３２）ｘ３＋（４５／３８４＋３３８／３８４）ｘ
＝−（５／３２）ｘ３＋（３８３／３８４）ｘ …（１１）
（１１）がｓｉｎ（ｘ）を３次までの多項式で近似したときのチェビシェフの近似式です（だそうです）。
以上の計算はＥＸＣＥＬを使うともう少し楽にできますが、ＥＸＣＥＬでは分数が小数になってしまって、説明するのに都合が悪いので今回は手計算で求めました。
このようにして求めた近似式が元のテイラーの多項式に対してどの程度の精度なのか、次回はＥＸＣＥＬを使って検証してみることにいたします。
ＭＹＣＰＵ８０でＣＰ／Ｍを！［第４６回］
２０１４．１０．５ｕｐｌｏａｄ
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