超巨大基板の８０８０互換ＨＣＭＯＳ・ＣＰＵでＣＰ／Ｍを走らせてしまおうという、なんとも狂気なプロジェクトです！
［第９２回］
●倍精度関数について
明けましておめでとうございます。
本年もよろしくお願いいたします。
ＭＹＣＰＵ８０用のＺＢ３ＤＯＳ（ＣＰ／Ｍ互換ＤＯＳ）もほぼ出来上がりました。
これからＣＰ／Ｍ機能の動作確認の作業を行なう予定です。
それが済めばいよいよ供給開始となります。
いよいよ大詰めです。
さっそく年初からその作業に…。
というところなのですが、その前にやっておきたいことがありました。
それは倍精度関数（初等関数）のことです。
単精度の初等関数については長年の疑問が昨年やっと氷解し、その解法が「最良近似式」によるものであることがわかりました。
ＺＢ３ＢＡＳＩＣには単精度の関数のほかに、倍精度の関数も搭載しております。
そちらのほうは単精度のような近似式が不明でしたために、テイラーの式をそのまま使っております。
せっかく最良近似式について理解を深めたことでもありますので、倍精度のほうもなんとかしたい、なんとかならないものか、という思いがありました。
ＣＰ／Ｍの検証作業にとりかかる前に、年明けのウォーミングアップも兼ねまして、まずはそのことについて、さぐってみることにいたしました。
単精度の関数についての最良近似式の計算はＥＸＣＥＬを使いました。
倍精度についても同じ手法が使えるとよろしいのですけれど…。
そこでちょいと気になりましたのが、ＥＸＣＥＬの計算精度です。
一体ＥＸＣＥＬはどの程度の精度で計算をしているのでしょうか？
そのあたりについて確認をしてみました。
下の表はＥＸＣＥＬでｓｉｎＸを計算して、それとティラーの式での計算結果とを比較したものです。
この表で見ますとＥＸＣＥＬは有効数字１５桁の精度で計算をしているようです。
一方ＺＢ３ＢＡＳＩＣの倍精度演算も同じ１５桁です。
ｓｉｎ関数ではその精度を出すために、Ｘ２１までの項を計算しています（下式）。
ｓｉｎＸ＝１−Ｘ３／３！＋Ｘ５／５！−Ｘ７／７！＋Ｘ９／９！−Ｘ１１／１１！＋Ｘ１３／１３！−Ｘ１５／１５！
＋Ｘ１７／１７！−Ｘ１９／１９！＋Ｘ２１／２１！
テイラーの式もなかなかどうして立派なもので、Ｘ２１までの項を計算すると、上の表のように有効数字１５桁での誤差はほとんど０になります。
１Ｅ−１６という誤差が出ているところがありますが、１ｘ１０−１６ということですから許容の範囲内でしょう。
差を求めるとそういう結果になりますが、表示されている値には差はありません。
最下位を丸めて表示しているためだと思われます。
こういう結果から見て、ｓｉｎ関数については計算時間がかかることを別にすれば精度そのものは問題ないと考えてもよろしいでしょう。
それではもっと次数を少なくしたらどうなるでしょうか？
それも計算してみました。
下の表は上の表と同様にＥＸＣＥＬでｓｉｎＸを計算して、それとティラーの式（Ｘ１９の項までとＸ１７の項まで）の計算結果とを比較したものです。
Ｘ１７の項までの式ではさすがに誤差が目立つようになります。
たとえば Ｘ１７の項までの最良近似式が求められれば、ひょっとすれば誤差を小さくすることができるかもしれません。
ですけれど…。
それがうまくできたとしてもたった２つの項を減らすことができるだけですから、ちょっと努力のしがいがないような気がします。
それにそもそも１５桁の精度を求めるための計算を１５桁の精度しかないＥＸＣＥＬを使って計算して本当に求めることができますでしょうか？
そこのところがちょいと疑問ではあります。
ＭＹＣＰＵ８０でＣＰ／Ｍを！［第９２回］
２０１５．１．３ｕｐｌｏａｄ
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