超巨大基板の８０８０互換ＨＣＭＯＳ・ＣＰＵでＣＰ／Ｍを走らせてしまおうという、なんとも狂気なプロジェクトです！
［第９３回］
●倍精度関数について（２）
年明け早々から記事の訂正です。
前回はＥＸＣＥＬの計算精度は有効数字１６桁らしいと書きましたが、数値の桁を読み間違えておりました。
ＥＸＣＥＬは有効数字１５桁のようです。
おまけにＥＸＣＥＬの計算精度につきましてはすでに［第６１回］で前回とほぼ同じ内容のことを書いておりました。
まことにお恥ずかしいことで、ほんとうに歳は取りたくないものであります。
さらにさらに、前回の記事は不正確なところがみつかりました。
前回の最後のところで、「１５桁の精度を求めるための計算を１５桁の精度しかないＥＸＣＥＬを使って計算して本当に求めることができますでしょうか」と書きましたが、その疑問は的中しておりました。
数学が得意な方でしたら考えるまでもないことだったかもしれませんが、私にはそのあたりのところが直感的にはどうも怪しいぞという気がしてはいても、理屈でこうこうだからと説明できなかったものですから、本日になりましてから、とにかくものはためしということで、さらに進んで検証をしていく中でたまたま前回の内容が不正確であったことがわかりました。
それがその計算精度に関係しておりました。
前回はｓｉｎＸをテイラーの式でＸ２１の項まで求めたところ、誤差が部分的に１×１０−１６のところがあって、Ｘ１９の項までと、Ｘ１７の項までの式ではその誤差が大きくなることについて、ＥＸＣＥＬの計算結果を図示しながら説明しました。
次数を減らせば誤差が増えるというところはその通りだったのですが、誤差の大きさに誤りがありました。
実は前回のＥＸＣＥＬの表では誤差を絶対値で示しました。
その絶対値を計算するのに関数ＡＢＳ（）を使ったのでしたが、そこに新たな誤差が発生しておりました。
有効数字の限界のところで関数などを使えばどういうことになるかということを身をもって証明してしまったようなものです。
ＡＢＳ（）を外して絶対値ではなくて正負の値のままを表示させてみましたところ、下のようになりました。
Ｘ２１の項までの式について再確認するまでもなく、なんとＸ１９の項までの式（Ｇ）でも誤差（Ｈ）は０になってしまいました。
前回のこの部分での誤差の犯人はＡＢＳ（）でした。
やっぱり計算精度の限界に近いところで誤差を正確に求めようとすることには無理があるようです。
ところで上の表ではｃｈｅｂｙ ｘ１７という列（Ｅ）があります。
そうなのです。
最良近似式を求める過程の式として、チェビシェフの近似式をＸ１７の項まで求めてみたのです。
ＥＸＣＥＬのｓｉｎＸとの差は（Ｆ）列に出ています。
ずっと０できていますが８４°〜９０°のところでマイナスの誤差が出ています。
このチェビシェフの１７次までの近似式のＥＸＣＥＬで計算したｓｉｎＸに対する誤差とテイラーの１７次までの式の同じくＥＸＣＥＬで計算したｓｉｎＸに対する誤差のグラフは下のようになりました。
上のＥＸＣＥＬの表と、このグラフを見て、やっと気が付きました。
やっぱり計算精度１５桁のＥＸＣＥＬで、同じ１５桁の精度の最良近似式を求めることは、どだい無理な話でありました。
本日は時間がなくなってしまいました。
そのあたりのことにつきましては次回に書くことにいたします。
ＭＹＣＰＵ８０でＣＰ／Ｍを！［第９３回］
２０１５．１．４ｕｐｌｏａｄ
前へ
次へ
ホームページトップへ戻る