超巨大基板の８０８０互換ＨＣＭＯＳ・ＣＰＵでＣＰ／Ｍを走らせてしまおうという、なんとも狂気なプロジェクトです！
［第４８回］
●ｓｉｎ（ｘ）の近似式の誤差のグラフ
今回は［第４６回］で求めましたｓｉｎ（ｘ）の３次までのチェビシェフの近似式をテイラーの多項式と比較してみました。
下のグラフはＥＸＣＥＬで計算した０°〜９０°までのｓｉｎ（ｘ）の値とチェビシェフの近似式ｓｉｎ（ｘ）＝−（５／３２）ｘ３＋（３８３／３８４）ｘとの差の絶対値をプロットしたものです（ピンク）。
比較のために、同じくＥＸＣＥＬで計算したｓｉｎ（ｘ）とテイラーの５次の多項式ｓｉｎ（ｘ）＝ｘ−（１／３！）ｘ３＋（１／５！）ｘ５ との差の絶対値を青色で、また同じくＥＸＣＥＬで計算したｓｉｎ（ｘ）とｓｉｎ（ｘ）＝ｘ−（１／３！）ｘ３との差の絶対値を黄色でプロットしました。
グラフで見ますとチェビシェフの近似式（３次式）はテイラーの多項式の５次式と３次式の間にあることがわかります。
むむ。
確かになかなかに見事なものです。
しかもテイラーの３次式はさすがに無理がありますから、４０°を越えるあたりから誤差が急に増大していますが、チェビシェフの近似式は同じ３次式でありながら６０°近くまでテイラーの５次式に近い小さな誤差でがんばっています。
おおそういえば６０°といえばおよそラジアン１に相当します。
ということで０°から６０°までに範囲をしぼって同じようにグラフ化してみました。
この範囲でもテイラーの３次式は約３０°あたりから誤差が急に大きくなっています。
さすがに５次式は０°から６０°の全範囲で小さな誤差に収まっています。
チェビシェフの３次式はその範囲では５次式よりも大きい誤差で、かつ３０°近くまではテイラーの３次式よりも誤差が大きいのですが、しかし０°〜６０°の全範囲でおおよそ平均的な誤差になっているように見えます。
これを見ますと、チェビシェフの近似式はやはり只者ではなさそうです。
３次式や５次式では本当のところはよくわからないように思いまして、ＥＸＣＥＬでもっと高次の式まで計算で求めてみました。
それも同じようにしてグラフにプロットしました。
チェビシェフの９次式（ピンク）とテイラーの１１次式（青色）と同じくテイラーの９次式（黄色）です。
３次式の場合とよく似ていますが、チェビシェフの近似式の誤差が７５°近くまで小さいままで収まっているように見えます。
範囲を６０°までにしてグラフにプロットしてみました。
チェビシェフの９次式の誤差はテイラーの１１次式の誤差に重なってしまっているように見えます。
縦軸をもっと大きくできるようにテイラーの９次式は外してみました。
おお。
なんだかちょっとすごい感じです。
チェビシェフの近似式のほうはなんとか誤差を少なくしようとがんばっているように見えます。
しかしこのグラフを見る限りではチェビシェフの９次の近似式はテイラーの１１次式にはとてもかなわないように見えます。
それでは果たして「最良近似式」なるものの実力はいかほどでありましょうか？
コロナ社「数値計算」に記載されております９次の最良近似式（ピンク）をテイラーの１１次の多項式（青色）と比較してみました。
おお。
これは！
なんと、「目からうろこ」の感があります。
これが最良近似式か！
むむ。
まさに、「最良」でありましょう。
ＭＹＣＰＵ８０でＣＰ／Ｍを！［第４８回］
２０１４．１０．７ｕｐｌｏａｄ
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