超巨大基板の８０８０互換ＨＣＭＯＳ・ＣＰＵでＣＰ／Ｍを走らせてしまおうという、なんとも狂気なプロジェクトです！
［第５８回］
●なぜ最良近似式か？
このところずっと「最良近似式」について書いております。
しかし、そもそも一体なぜ「最良近似式」なのでありましょうか？
通常の「近似式」と「最良近似式」とは一体どこが違うのでありましょうか？
そこのところで得心がいきませんと、何をやっているのやらさっぱりわからぬ、ということになってしまいます。
ですので、まずはそのあたりについて、簡単に見ていただくことにいたします。
下のグラフは前回も見ていただきましたｓｉｎ（ｘ）をｆ（ｘ）としたときの、その近似式ｇ（ｘ）との差
Ｅ（ｘ）＝ｆ（ｘ）−ｇ（ｘ）
のグラフです。
しかし前回とは違い、今回は最良近似式ではなくてただの近似式のグラフです。
系列１はチェビシェフの９次の近似式（下の式）の誤差のグラフです。
ｓｉｎ（ｘ）＝ｃ１ｘ＋ｃ３ｘ３＋…＋ｃ９ｘ９
ｃ１＝１
ｃ３＝−０．１６６６６６６６１
ｃ５＝０．００８３３３３０３
ｃ７＝−０．０００１９８３４４
ｃ９＝２．６８６８４×１０−６
系列２、系列３、系列４は上記のチェビシェフの近似式をもとにして最良近似式を導き出す途中の近似式です。
そして系列５はテイラーの９次の多項式（下の式）です。
ｓｉｎ（ｘ）＝ｃ１ｘ＋ｃ３ｘ３＋…＋ｃ９ｘ９
ｃ１＝１
ｃ３＝１／３！＝１／６
ｃ５＝１／５！＝１／１２０
ｃ７＝１／７！＝１／５０４０
ｃ９＝１／９！＝１／３６２８８０
上のグラフを見ますとテイラーの式は６０°近くまでは誤差はほとんど無いように見えますが、６０°を越えるあたりから誤差が急に大きくなっています。
前回の最良近似式との違いはまさにその点にあります。
テイラーの多項式でこの誤差を小さくするためにはひたすらｘの次数の大きな項まで計算するしかありません。
そのようにしても９０°近くの誤差はなかなか小さくはできませんが、計算量は飛躍的に増大してしまいます。
下は上のグラフを６０°近くまでで止めたものです。
テイラーの多項式のグラフ（系列５）はさきほどのグラフでは６０°近くまでは誤差が小さいように見えたのですが、このように拡大してみますと、もっと早く３０°を越えるあたりから誤差が急に増大していることがわかります。
０°から９０°までの全範囲にわたってある一定以下の誤差範囲で使いたいと考えたとき、テイラーの式は使えないなあ、ということがおわかりいただけると思います。
チェビシェフの近似式（系列１）は６０°近くまでは誤差を一定範囲に押さえようとしているように見えますが、それを越えるとやはり誤差が急に大きくなってしまいます。
チェビシェフの近似式は「最良近似式」ではない、と評される所以です。
本日は時間がなくなってしまいました。
次回に続きます。
ＭＹＣＰＵ８０でＣＰ／Ｍを！［第５８回］
２０１４．１０．２９ｕｐｌｏａｄ
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